ラングランズ・プログラムと神聖幾何学

自分が臨死体験したときに天井に浮かび上がった図形がフラワーオブライフという幾何学模様で七色でくるくる回っていた。これをなぜ知ったのかは覚えてないのだが、なにやらオシリス神殿に壁に彫られていたり、神社の狛犬の毬がこの形になっている。こういうのを神聖幾何学というらしい。荒俣宏先生の神聖幾何学の解説があるのだが、この回を何度も聞いている。いまだに。聞くたびに自分も本などを読んでいるので自分の成長とともにこの回の凄みがどんどん増す気がする。とにかくこの世は数学で書くことができ、すべてはひとつに繋がっている。

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Flower of Lifeさんの写真

神聖幾何学

Nassim Harameinさんの写真

Nassim Harameinさんの写真

素数のパターンと幾何学

ラングランズ・プログラム

このようなことをいっているとオカルトやカルトだと思う方もいるかもしれないが、実際やっていることは数学者と変わらない。それがラングランズプログラムだ。

なじみ深い方程式や幾何学といったものだけでなく、「数論」や「調和解析」「ガロア群」など聞き慣れない領域がそこら中で体系をなしている。
机の上に散りばめたパズルピースを、それぞれの数学者がそれぞれの場所でできるところからつなぎ合わせていく。そして、あちこちにできた島・かたまりが、その「数論」「調和解析」の領域なのです。

一見どれも関係なさそうに見えるパズルの島で、各分野の専門家が別々に研究を進めていきます。

しかしある時、360年間解けなかった数学界の超難問「フェルマーの最終定理」を、その分野と全く異なる方法(別の領域の問題を証明すること)で解決してしまった者が現れました。
事態は急変し、実は異なる数学の領域間にも関係性があるのではないか、そうにわかに考えられるようになっていきます。

そこで、「むしろ一部の関係性ってより、もしかしたらこれ全部どこかでつながってるんじゃない?」と予想した人物が登場。

カナダの数学者ロバート・ラングランズ氏です。
彼は、数学の様々な分野が実は“地続き”で、最終的には1つ大きな島(体系)に“統一”できるのではないか、という大胆な予想をし、それがラングランズ・プログラムの提唱となったのです。

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数学者ロバート・ラングランズ

その鍵は「対称性」。対称性は、数学と物理学の関係においても鍵である。イスラム幾何学はこの辺のなにかを知っている気がする。

数学ミステリー白熱教室~ラングランズ・プログラムへの招待~   4回シリーズというのがNHKでやっていてカリフォルニア大学バークレー校のエドワード・フレンケル教授の講義している。これ凄い面白かったです。

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第1回「数学を“統一”する!」
第2回「数の世界に隠された美しさ ~数論の対称性~」
第3回「“フェルマーの最終定理”への道 ~調和解析の対称性~」
第4回「数学と物理学 驚異のつながり」
フレンケル教授は、全ての物質の根源となる素粒子の性質を理解することが、いかに数学の理論(特に対称性)の後押しによって進展してきたかを強調する。
実際、クォークの発見は純粋数学の理論から予言されたものだった。
さらにこの10年間で、量子物理学やスーパーストリング理論の世界とラングランズ・プログラムとの関係が次々と発見されてきたという。
抽象的な数学を突き詰めれば、やがてこの宇宙の法則を次々と解明することに繋がるとも考えられるのだ。
それにしてもなぜ、抽象世界を描くはずの純粋数学が、現実を記述する物理学と深いつながりを持つのか…。
この「自然科学における数学の不合理なほどの有効性」はどこからやってくるのか…。
数学は単なる抽象的な存在ではないのではないか…。
フレンケル教授が、私たちのすぐそばにパラレルワールドのように存在する“隠された実態”としての数学を、私たちに気づかせる!

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